今天我將用這篇文章來梳理一下線性代數課程各個單元的知識點，由于文章篇幅較長，本次線性代數知識梳理分為兩部分，矩陣初等變換之后的內容就留在下一部分了。

01

線性代數知識圖譜

線性代數是處理線性關系的代數學的一個分支。

線性關系是指數學對象之間的關系用線性形式來表達。例如，在解析幾何中，平面上直線的方程是二元一次方程；空間中平面的方程是三元一次方程，而空間中的直線則看作兩個平面的交點，用由兩個三元一次方程組成的方程組來表示。有n個未知數的線性方程稱為線性方程。因變量為線性函數的函數稱為線性函數。

線性關系問題稱為線性問題。求解線性方程組是最簡單的線性問題。

02

行列式

2.1 定義

矩陣的行列式（縮寫為 det）是根據矩陣中包含的行和列數據計算出的標量。它用于求解線性方程。

2.2 二階行列式

計算方法：對角線法則

2.3 三階行列式

計算方法：對角線法則

2.4 n階行列式 2.4.1 計算排列的逆序數

2.4.2 計算 n 階行列式

2.4.3 簡化計算摘要

2.4.4 行列式的三種表達方式

2.5 行列式的性質

性質 1：行列式等于其轉置行列式

注意：在行列式中逆序數在行列式的意義，行和列的地位相等，且對行成立的行列式的性質對列也成立。

性質 2：交換行列式的兩行（列），行列式的符號會改變

推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則行列式為零

性質3：行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一個倍數k，等于將行列式乘以數字k。

推論：行列式某一行（列）中所有元素的公因數都可以移到行列式符號之外。

性質4：如果行列式中兩行（列）的元素成比例，則行列式為零。

性質5：如果行列式某一列（行）的元素是兩個數的和，那么它等于相應兩個行列式的和。

性質6：如果將行列式某一列（行）的每個元素乘以相同的倍數，然后將其與另一列（行）的相應元素相加，行列式保持不變。

2.6 行列式的計算方法

1）利用定義

2）利用性質將行列式轉化為上三角行列式，然后計算行列式的值

該定理包含三個結論：

1）方程組有解；（解的存在性）

2）解是唯一的；（解的唯一性）

3）可由公式（2）給出解決方案。

定理4 如果線性方程組（1）的系數行列式不等于零，則該線性方程組必定有解，且該解是唯一的。

定理4′ 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必定為零。

齊次線性方程的相關定理

定理5 若齊次線性方程組的系數行列式D不等于0，則該齊次線性方程組只有零解，沒有非零解。

定理5′ 如果齊次線性系統有非零解，則它的系數行列式必定為零。

1. 利用克萊姆法則解決線性方程的兩個條件

1）方程的個數等于未知數的個數；

2）系數行列式不等于零。

2、克萊姆法則的意義在于建立線性方程組的解與已知系數和常數項之間的關系，主要適用于理論推導。

2.8 按行（列）展開行列式

對角線規則僅適用于二階和三階行列式。

本節主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式。

03

矩陣

3.1 矩陣的定義

注意：矩陣和行列式的區別

3.2 特殊矩陣

3.3 矩陣和線性變換

3.4 矩陣運算 3.4.1 矩陣加法

行列式與矩陣加法的比較：

3.4.2 矩陣乘法

3.4.3 矩陣-矩陣乘法

3.4.4 矩陣轉置

3.4.5 方陣的行列式

3.4.6 伴隨矩陣

3.4.7 共軛矩陣

3.5 可逆矩陣（或非奇異矩陣）

3.6 矩陣分塊法

數學是一門美麗的學科，包括線性代數。它們所蘊含的知識詳實多樣，細致精妙，結論簡練，解法合乎邏輯。今天給大家推薦一個數學競賽，希望大家在2小時的競賽中逆序數在行列式的意義，感受到數學思維之美。

賽事簡介

為貫徹落實中央關于國家高新技術產業發展的重要指示精神，進一步明確國家高新區“十四五”發展思路和重點任務，國家一級協會分支機構中國國際科技促進會物聯網工作委員會將舉辦面向全國大學生的“2024全國大學生高科技競賽——數學競賽”。

注冊方式

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比賽亮點

01

具有挑戰性的競賽問題

大學的學習不應該僅僅局限于課堂學習和作業，一些高質量的學科競賽是讓學生看到更多可能性的機會，更有挑戰性的競賽題目可以幫助學生在備賽過程中提升自己網校哪個好，競賽交流也可以幫助學生拓寬學習視野。

02

備戰全國數學競賽

本次數學競賽的競賽形式和難度與全國大學生數學競賽類似，對于有興趣參加下半年全國大學生數學競賽的同學，可以提前做好本次競賽的準備，看看競賽的難度和題量。

03

查看考研數學復習情況

對于有意向考研的學生，競賽題目均由知名大學老師參照教學大綱布置，在保證數學競賽題量少、精的同時，也可作為研究生考研數學科目的模擬考試。

04

分享學習資料

競賽專門設置了學習資料下載區域，其中會不定期更新各類數學相關的學習資料，同學們報名后可自行添加。

比賽獎勵

本次大賽分組、分考場進行評獎，設一等獎、二等獎、三等獎、優秀獎，獎勵比例（按實際參賽人數計算）如下：

一等獎：5%；

二等獎：15%；

三等獎：30%；

優秀獎：若干名（成功參賽即可獲得優秀獎）

-證書樣本-

優秀指導老師：

根據參賽學生報名情況及獲獎學生人數進行綜合評定，評選合格的高校教師將獲得“優秀指導教師榮譽證書”。

優秀組織單位：

根據參賽學生報名人數、獲獎學生人數進行綜合考核，合格的單位將獲得優秀組織單位榮譽證書。

各學院（部）、校社團均可申報優秀主辦單位。

比賽規則

（1）本次比賽為個人賽，分為研究生組、本科生組、?？粕M，請報名時根據實際情況選擇組別。（比賽題目分為數學類和非數學類，報名時無需選擇類別，考試時可直接選擇要參加類別的考場）

（2）競賽題目來自資深專家及企事業單位實際應用場景。

（3）整個競賽將以線上方式進行，須提交作品電子版（可手寫圖像拍照上傳）。

（4）比賽題目將在比賽開始時在大賽官方主頁和大賽報名網站上公布，分為數學類和非數學類，不向選手郵寄書面題目。

比賽須知

01

參與者

凡普通高校、高職院校、中等專業學校、獨立學院本專科學生、研究生，不限專業，均可報名參加；其他社會公眾也可報名參加。

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日程

報名時間：即日起至2024年4月19日

比賽時間：2024年4月20日10:00-12:00