1.適用條件

[直線過(guò)焦點(diǎn)]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點(diǎn)所在軸傾角，是內(nèi)角。x為分離比，應(yīng)當(dāng)小于1。

注：上述公式適宜一切圓柱曲線。假如焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所截線段上)，用該公式;假如外分(焦點(diǎn)在所截線段延長(zhǎng)線上)，左側(cè)為(x+1)/(x-1)，其他不變。

2.函數(shù)的周期性問(wèn)題(記憶三個(gè))

(1)若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。

留意點(diǎn)：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)或許存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)或許是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相乘不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(無(wú)數(shù)人搞不懂的問(wèn)題)小結(jié)如下

(1)若在R上(下同)滿(mǎn)足：f(a+x)=f(b-x)恒創(chuàng)立，對(duì)稱(chēng)軸為x=(a+b)/2

(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于x=(b-a)/2對(duì)稱(chēng);

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖象關(guān)于(a高中橢圓的所有公式，b)中心對(duì)稱(chēng)

4.函數(shù)奇偶性

(1)對(duì)于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;

(2)對(duì)于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒(méi)有偶次方項(xiàng)，偶函數(shù)沒(méi)有奇次方項(xiàng)

(3)奇偶性作用不大，通常適于選擇改錯(cuò)

5.數(shù)列爆強(qiáng)定理

(1)等比數(shù)列中：S奇=na中，比如S13=13a7(13和7為下下標(biāo));

(2)等比數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等比

(3)等差數(shù)列中，上述2中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一時(shí)成等差，在q=-1時(shí)，或許創(chuàng)立

(4)等差數(shù)列爆強(qiáng)公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以快速求q

6.數(shù)列的終極神器，特點(diǎn)根多項(xiàng)式

首先介紹公式：對(duì)于an+1=pan+q(n+1為下下標(biāo)，n為下下標(biāo))，

a1已知，這么特點(diǎn)根x=q/(1-p)，則數(shù)列通項(xiàng)公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特性根多項(xiàng)式的利用。

二階有點(diǎn)麻煩，且不常用。因此不贅言。希望朋友們謹(jǐn)記上述公式。其實(shí)這種類(lèi)型的數(shù)列可以構(gòu)造(右邊同時(shí)加數(shù))

7.函數(shù)解析補(bǔ)充

1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減

3、重點(diǎn)知識(shí)關(guān)于三次函數(shù)：即便沒(méi)有多少人曉得三次函數(shù)曲線似乎是中心對(duì)稱(chēng)圖形。

它有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，求法為二階導(dǎo)后行列式為0，根x即為中心橫座標(biāo)，縱座標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)劃分。另外，必有惟一一條過(guò)該中心的直線與兩側(cè)相切。

8.常用數(shù)列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶技巧

后面乘以一個(gè)1，前面加一個(gè)，再整體加一個(gè)2

9.適用于標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式

k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo

注：(xo，yo)均為直線過(guò)圓柱曲線所截段的中點(diǎn)。

10.強(qiáng)烈推薦一個(gè)兩直線平行或垂直的必殺技

已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0

若他們平行：(充要條件)a1a2+b1b2=0;

若他們垂直：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[

這個(gè)條件為了避免兩直線重合)

注：以上兩公式避開(kāi)了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!

11.精典中的精典

堅(jiān)信鄰項(xiàng)相消你們都曉得。

下邊看隔項(xiàng)相消：

對(duì)于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注：隔項(xiàng)相乘保留四項(xiàng)，即首兩項(xiàng)，尾兩項(xiàng)。自己把等式寫(xiě)在草稿紙上，這樣看上去會(huì)很涼爽以及整潔!

12.爆強(qiáng)△面積公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)

注：這個(gè)公式可以解決已知三角形三點(diǎn)座標(biāo)求面積的問(wèn)題

13.你曉得嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯(cuò)

(1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面

(2)平行同經(jīng)常線的兩直線垂直

(3)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是垂直四邊形

(4)若果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則直線平行平面

(5)有兩個(gè)面相互垂直，其余各面都是垂直四邊形的幾何體是多面體

(6)有一個(gè)面是六邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐

注：對(duì)小學(xué)生不適用。

14.一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)

所有棱長(zhǎng)均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數(shù))的最小值

答案為：當(dāng)n為偶數(shù)，最小值為(n2-1)/4高中橢圓的所有公式，在x=(n+1)/2時(shí)取到;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2+1時(shí)取到。

16.√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為負(fù)數(shù)，是統(tǒng)一定義域)

17.拋物線中焦點(diǎn)三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)

說(shuō)明：適用于焦點(diǎn)在x軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓柱曲線。A為兩焦直徑頂角。

18.爆強(qiáng)定律

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]

(1)A為線線傾角

(2)A為線面傾角(雖然公式中cos換成sin)

(3)A為面面傾角注：以上角范圍均為[0，派/2]。

19.爆強(qiáng)公式

12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2

20.爆強(qiáng)切線多項(xiàng)式記憶技巧

寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)方式，換一個(gè)x，換一個(gè)y

例子說(shuō)明：對(duì)于y2=2px可以寫(xiě)成y×y=px+px

再把(xo，yo)帶入其中一個(gè)得：y×yo=pxo+px

21.爆強(qiáng)定律

(a+b+c)2n的展開(kāi)式[合并以后]的項(xiàng)數(shù)為：Cn+22，n+2在下，2在上

22.轉(zhuǎn)換思想

切線長(zhǎng)l=√(d2-r2)d表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離，r為圓直徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23.對(duì)于y2=2px

過(guò)焦點(diǎn)的相互平行的兩弦AB、CD，他們的和最小為8p。

爆強(qiáng)定律的證明：對(duì)于y2=2px，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦傾斜角為A

這么弧長(zhǎng)可表示為2p/〔(sinA)2〕，因此與之平行的弧長(zhǎng)為2p/[(cosA)2]

因此求和再據(jù)三角知識(shí)可知。

(題目的意思就是弦AB過(guò)焦點(diǎn)，CD過(guò)焦點(diǎn)，且AB平行于CD)

24.關(guān)于一個(gè)重要絕對(duì)值不方程的介紹爆強(qiáng)

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25.關(guān)于解決證明含ln的不方程的一種思路

例子說(shuō)明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

把右邊看成是1/n求和，兩邊看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，

這么只需證an>bn即可，依照定積分知識(shí)畫(huà)出y=1/x的圖。

an=1×1/n=菱形面積>曲線下面積=bn。其實(shí)后面要證明1>ln2。

注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對(duì)于這些步驟可以推廣，就是把右邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說(shuō)明：前提是含ln。

26.爆強(qiáng)簡(jiǎn)約公式

向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數(shù)目積〕/[向量b的模]。

記憶方式：在哪投影乘以那個(gè)的模

27.說(shuō)明一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

若f(x+a)[a任意]為奇函數(shù)，這么得到的推論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式兩邊不是-f(-x-a)〕

同理假如f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f(-x+a)謹(jǐn)記

28.離心律爆強(qiáng)公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為拋物線上一點(diǎn)，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N

29.拋物線的參數(shù)等式只是一個(gè)挺好的東西，它可以解決一些最值問(wèn)題。

例如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。

解：令x==sina再運(yùn)用三角有界即可。比你去=0不曉得快多少倍!

30.僅供有能力的童鞋參考的爆強(qiáng)公式

和差化積

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

積化和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31.爆強(qiáng)定律

直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。

32.三角形垂心爆強(qiáng)定律

(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)

(2)若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=1/x的圖像上，則它的垂心也在這個(gè)函數(shù)圖像上。

33.維維安尼定律(不是很重要(僅供娛樂(lè)))

正三角形內(nèi)(或邊界上)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。

34.爆強(qiáng)思路

假若出現(xiàn)兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n

我們必須產(chǎn)生一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)

再借助△大于等于0，可以得到m、n范圍。

35.常用推論

過(guò)(2p，0)的直線交橢圓y2=2px于A、B兩點(diǎn)。

O為原點(diǎn)，連結(jié)AO.BO。必有角AOB=90度

36.爆強(qiáng)公式

ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不方程的證明問(wèn)題。

例子說(shuō)明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)

證明如下：令x=1/(n2)，依據(jù)ln(x+1)≤x有左右累和右側(cè)

再放縮得：左和

37.函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)

在(0，派)上它單調(diào)遞減，(-派，0)上單調(diào)遞增。

運(yùn)用上述性質(zhì)可以比較大小。

38.函數(shù)

y=(lnx)/x在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+無(wú)窮)上單調(diào)遞減。

另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。

39.幾個(gè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)

(1)f`(x)

(2)研究函數(shù)奇偶性時(shí)，忽視最開(kāi)始的只是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

(3)不方程的利用過(guò)程中，千萬(wàn)要考慮"="號(hào)是否取到

(4)研究數(shù)列問(wèn)題不考慮分項(xiàng)，就是說(shuō)有時(shí)第一項(xiàng)并不符合通項(xiàng)公式，因此必須極其留意：數(shù)列問(wèn)題一定要考慮是否還要分項(xiàng)!

40.增加估算能力五步曲

(1)丟棄估算器

(2)仔細(xì)審題(倡導(dǎo)看題慢，解題快)，要曉得沒(méi)有搞清楚題目，你算多少都沒(méi)用

(3)熟記常用數(shù)據(jù)，把握一些心算技

(4)增強(qiáng)速算、估算能力

(5)檢測(cè)

41.一個(gè)曼妙的公式

已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心，

則向量AO×向量BC(即人數(shù)積)=(1/2)[b2-a2]

證明：過(guò)O作BC垂線，轉(zhuǎn)換到已知邊上

42.函數(shù)

①函數(shù)單調(diào)性的含意：大多數(shù)老師都曉得若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的減小(減少)而減小(減少)，但有些意思或許有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這也說(shuō)明了為何不能說(shuō)y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由于它的圖象被無(wú)窮多條漸近線堵住，換而言之，不連續(xù).也有，假如函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)在D上y與x一一對(duì)應(yīng).這個(gè)可以拿來(lái)解一些多項(xiàng)式.至于實(shí)例不舉了

②函數(shù)周期性：這兒主要小結(jié)一些函數(shù)方程式所要抒發(fā)的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù)，對(duì)任意x∈R

(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對(duì)值，下同)

(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

(4)設(shè)T≠0，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿(mǎn)足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數(shù)的周期為2

43.奇偶函數(shù)概念的推廣

(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a，并且f(a-x)=f(a+x)，則稱(chēng)f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足時(shí)，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f(a+x)，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足時(shí)，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

(3)有兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足廣義奇偶函數(shù)的方程式時(shí)，就稱(chēng)f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數(shù)，這么當(dāng)f在[a+b/2，∞)上為增函數(shù)時(shí)，有f(x1)

44.函數(shù)對(duì)稱(chēng)性

(1)若f(x)滿(mǎn)足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2，c/2)成中心對(duì)稱(chēng)

(2)若f(x)滿(mǎn)足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對(duì)稱(chēng)

柯西函數(shù)多項(xiàng)式：若f(x)連續(xù)或單調(diào)

(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由年率給出)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x

(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b非常的若f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)=kx

45.與三角形有關(guān)的定律或推論大學(xué)英語(yǔ)平面幾何最基本的圖形就是三角形

①正切定律(我自己取的，由于不曉得名子)：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=

②任意三角形射影定律(又稱(chēng)第一正弦定律)：

在△ABC中，

a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形內(nèi)切圓直徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓直徑應(yīng)當(dāng)都曉得了吧

④梅涅勞斯定律：設(shè)A1,B1，C1分別是△ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點(diǎn)，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1

44.易錯(cuò)點(diǎn)

(1)函數(shù)的各種性質(zhì)綜合利用不靈活，例如奇偶性與單調(diào)性常拿來(lái)配合解決具象函數(shù)不方程問(wèn)題;

(2)三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導(dǎo)公式不迅捷。

45.易錯(cuò)點(diǎn)

(3)忽視三角函數(shù)中的有界性，三角形中視角的限定，例如一個(gè)三角形中，不或許同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)角的正弦值為負(fù)

(4)三角的平移變換不清晰，說(shuō)明：由y=sinx弄成y=sinwx的方法是將橫座標(biāo)弄成其實(shí)的1/∣w∣倍

46.易錯(cuò)點(diǎn)

(5)數(shù)列求和中，往往使用的錯(cuò)位相乘總是疏忽算錯(cuò)

避免辦法：在寫(xiě)第二步時(shí)，提出公差，括弧內(nèi)等差數(shù)列求和，最后除掉系數(shù);

(6)數(shù)列中常用變型公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]的求和保留四項(xiàng)

47.易錯(cuò)點(diǎn)

(7)數(shù)列未考慮a1是否符合按照sn-sn-1求得的通項(xiàng)公式;

(8)數(shù)列并不是簡(jiǎn)略的全體實(shí)數(shù)函數(shù)，即留意導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的最值問(wèn)題過(guò)程中是否取到問(wèn)題

48.易錯(cuò)點(diǎn)

(9)向量的運(yùn)算不完全等價(jià)于代數(shù)運(yùn)算;

(10)在求向量的模運(yùn)算過(guò)程中平方后來(lái)，忘掉開(kāi)方。

例如這些選擇題中經(jīng)常出現(xiàn)2，√2的答案…，基本就是選√2，選2的就是由于沒(méi)有開(kāi)方;

(11)虛數(shù)的幾何意義不清晰

49.關(guān)于輔助角公式

asint+bcost=[√(a2+b2)]sin(t+m)其中tanm=b/a[條件：a>0]

說(shuō)明：一些的朋友習(xí)慣去考慮sinm或則cosm來(lái)確定m，個(gè)人認(rèn)為這么太容易出錯(cuò)

最好的辦法是依據(jù)tanm確定m.(見(jiàn)上)。

例子說(shuō)明：sinx+√3cosx=2sin(x+m)，

由于tanm=√3，因此m=60度，因此原式=2sin(x+60度)

50.A、B為拋物線x2/a2+y2/b2=1上任意兩點(diǎn)。若OA平行OB，則有1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2