圖1

他翻閱《星際閱讀》

之后，他饒有興致地讀起了永紅老師寫的《加速度差分法的由來》一文。他喜歡永紅老師的文筆！既有科學上的邏輯推理，又有引人入勝的故事情節。此刻，他望著眼前的照片，思考著永紅老師對紙帶的研究，似乎對加速度計算有了新的認識：永紅老師的研究對象是等時間間隔記錄物體位移的點計時器，教科書封面上的頻閃照片是等時間間隔記錄物體位移的照相機。兩個場景無非是同時留下痕跡，用的工具不同打點計時器求加速度，但原理相同。

他試圖回答心中的問題：蘋果是否以恒定的加速度沿勻加速直線運動？蘋果的加速度是多??少？

他首先復習了“用差分法計算加速度”的知識。

其中，兩次位移的時間為T，即勻加速直線運動中相鄰距離的位移差規律。要利用這些知識討論問題，首先要獲得等時間的位移數據。考慮到自己能力有限，他決定上網查找和蘋果下落相同模型的數據，并從網上獲取了一張有數據的下落小球的頻閃照片（圖2，頻閃儀每0.04秒閃一次，照片中的數字為小球下落的距離，單位為厘米）。就這樣，他開始了他的探索之旅。

圖 2

如何通過照片中的信息來驗證下落的蘋果是勻速加速直線運動？

加速度的表達式變成

通過測量紙帶上相鄰兩段的位移，計算出相鄰兩段位移的差值，若在實驗誤差范圍內為常數值，由于T為常數，a為常數，可以證明自由落體運動為勻加速直線運動。從圖中數據可知打點計時器求加速度，相鄰各段位移分別為：x1=0.8cm，x2=2.4cm，x3=3.9cm，x4=5.4cm，x5=7.1cm，x6=8.8cm。相鄰兩段位移的差值為：

x2-x1=1.6厘米，

x3-x2=1.5厘米，

x4-x3=1.5厘米，

x5-x4=1.7厘米，

x6-x5=1.7厘米。

如果相鄰兩次位移之差在實驗誤差范圍內為一個常數，他就斷定蘋果在做勻加速直線運動，他的疑惑漸漸解開，心里暗自高興。

然而，我們如何利用照片中的信息來計算出勻速加速直線運動中下落的蘋果的加速度大小呢？

根據逐次差分法知識，

，將六段數據分成兩段，然后

x = x4 + x5 + x6 = 21.3厘米，

x前端=x1+x2+x3=7.1厘米，

經過分段后，每次T=0.04x3s=0.12s，代入差值公式，a=9.86m/s2。算出結果時，他欣喜若狂，這才是熟悉的重力加速度值！但他覺得自己沒有用永紅老師說的6次位移求平均值來減少誤差！回頭看永紅老師的文章，原來，永紅老師的紙帶數據是每段獨立的測量數據，而他查出的數據卻是同一個起點的測量數據。經過分段后，實際用到的只有7.1和28.4兩組數據。有沒有辦法把所有的數據都用求平均值來減少誤差呢？李林很迷茫。帶著這個問題，他準備去向物理老師請教。

見到物理老師后，物理老師夸李林很好學！接著師徒二人的探索之旅就開始了。老師拿出筆，潦草地寫下了李林找到的照片的最后一個數據？（圖3）李林摸了摸頭，好奇老師在干什么？他不解地看著老師。老師笑著說：你不是來問“非常規”的問題嗎？當然要給你一個“非常規”的數據了！你還能用差分法公式解加速度嗎？

圖 3

李林心想：不是只剩下5個數據段了嗎？不可能分成兩段均等的！！唯一的辦法就是去掉第一個或最后一個數據段。剩下的4個數據段難道不能用差分法嗎？他悄悄地把這個想法告訴了老師，沒想到老師竟然豎起了大拇指！他的想法得到了肯定。

老師隨即在李林找到的數據上畫了兩段（圖4）。然后說：繼續你的思維挑戰吧！我給你不完整的數據！你還能用差分法解加速度嗎？李林想了想說：數據太不完整了，我們只能算出x3=3.9cm和x6=8.8cm。而且這兩段數據不連續！差分法還能用嗎？

圖 4

看到李琳一臉疑惑的樣子，老師首先還原了永紅老師對逐次差分法的推導過程。

x2-x1=aT2，

x3-x2=aT2，

X4-x3=aT2，

x5-x4=aT2，

x6-x5=aT2，

如果把后三個式子相加，會得到什么結論呢？經過計算，李林得到了表達式x6-x3=3aT2。然后他問老師：在數據不完整的情況下，我們能不能解加速度呢？“當然可以，我們用這個作為逐次差分法的一個補充，叫‘交替項逐次差分法’！”老師說。

李林松了一口氣，按照老師的推斷，他可以很好地利用數據，而不受相鄰段的限制！當他向老師提出問題時，老師并沒有直接回答，而是像魔術師一樣引導李林思考。李林自信地對老師說：我有我問題的答案了！我可以用：

x2-x1=a1T2，

x3-x1=2a2T2，

x4-x1=3a3T2，

x5-x1=2a4T2，

x6-x1=2a5T2

分別計算加速度，然后求平均值

。

離開老師辦公室后，李林對用差分法解加速度的認識和思維都有所提升。當在各段獨立測量物體勻速加速直線運動等時間數據時，直接用“差分法”就可以了！當在同一起點測量物體勻速加速直線運動等時間數據時，用優化后的“區間差分法”！李林告訴自己：學無止境，唯有思考，才能續寫物理學小王子的稱號！

同學們，看完李林的《微分法計算加速度的應用》的探索，你們一定有自己的想法了吧？你能把李林還沒有算出來的結果補上嗎？關于《微分法計算加速度》和我們的生活，下次我們繼續我們的探索之旅吧！