延續昨天的話題，今天我們講完閉區間連續函數命題的證明。前兩天我們重點講解了比較難的“父子定理”，今天講解如何利用極大值與中值定理來證明命題。我們先來回顧一下這類命題的解題步驟：先判斷證明的結論是開區間還是閉區間。如果是開區間，考慮利用父子定理，如果是閉區間，考慮利用極大值與中值定理來解。
好的，我們來看一個例題：
首先判斷是開區間還是閉區間。很顯然，這道題是閉區間，所以考慮用極值定理加中間值定理來解決。在周一的文章中，我已經介紹了極值定理和中間值定理。利用這個定理的關鍵就是在閉區間上找到連續函數的最大值和最小值。找到它們之后，下??一步就是讓待證函數的值落在最大值和最小值之間。這樣就滿足了中間值定理的條件。
好吧，這道題只有一個閉區間上的連續函數，我們集中討論一下它：
f(x)在[a,b]上連續，所以在這個區間里必定有一個最大值和一個最小值。那么我們設最大值為M，最小值為m。通過假設的方法，我們找到最大值和最小值。
那么接下來我們該怎么做呢？我們需要將要證明的等式的右邊四舍五入。由于 f(x) 的最大值是 M，最小值是 m，所以無論我們如何選擇該值，它都必須落在此范圍內。因此，對于等式的右邊：
我故意把它寫成了對齊，不知道大家能不能把它和我們之前學過的知識聯系起來，沒錯，就是縮放的方法，當所有項都變成最小值就是縮小，當所有項都變成最大值就是放大。不過我們這道題的目的不是縮放，而是求區間。
好的，接下來的步驟就很簡單了，通過除以c1+c2+…+cn，我們得到了待證方程的右邊，并且證明了這個方程落在m和M之間。于是中間值定理立刻就被推導出來，證明完畢。
證明閉區間上的連續函數并不難，關鍵是理清邏輯函數的連續區間怎么求，把復雜的問題簡單化。其實關于中值定理的證明函數的連續區間怎么求，整個邏輯就是先確定用哪個定理，然后拿出中值定理的條件。比如羅爾驗證兩個端點處的函數值為零，零點就是驗證區間內有符號相反的函數值，等等。
今天的問題：概括閉區間上連續函數命題的特點和基本證明程序。
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