距離2019年高考還有324天，高考數(shù)學難題，我們該如何攻克呢？今天，聽新東方數(shù)學套路王者毛毛老師為你講解快速提升30-130分的攻略！

高中數(shù)學第一輪復習

進入高三后，每門科目都會有一輪復習，這是整個高三復習階段最基礎(chǔ)也是最重要的一個環(huán)節(jié)。但很多同學對第一輪復習不夠重視，或者對第一輪復習的目標不明確，以為第一輪復習就是做一些題，聽聽對題目的點評。這使得他們在之后的復習中處于一知半解的狀態(tài)，章節(jié)知識和試題存在漏洞，不僅大大影響了復習效率，也很容易打擊自信心，產(chǎn)生挫敗感，甚至產(chǎn)生想要放棄的心態(tài)。

那一輪復習需要完成什么樣的任務目標呢？本文將闡述一輪復習需要完成的三個目標，并具體闡述每個目標在高考數(shù)學領(lǐng)域的具體體現(xiàn)。其他學科較弱的同學也可以參考，學習方法和思路都是通用的。

目標 1：復習舊知識

進入高三后，很多知識點在高一、高二已經(jīng)學過了，但由于時間間隔較長，容易遺忘，知識學得不全面，跨章節(jié)知識整合較少，需要在高三通過一輪復習鞏固所學。

（1）時間間隔長容易忘記

例如高一上學期數(shù)學教材第61至64頁關(guān)于函數(shù)運算的定義，在高一時講解得非常少，但高三之后就有了廣泛的應用，比如對勾函數(shù)

、功能區(qū)功能

可以看作是兩個基本的初等函數(shù)

和

用加減法連接起來的復雜函數(shù)。如果你不知道基本的初等函數(shù)可以通過加減乘除法組合成復雜函數(shù)，那么單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)與函數(shù)運算結(jié)合時的結(jié)論就更不清楚了。只能背誦“增加+增加就是增加，增加-減少就是減少，增加-減少未知，減少+減少就是減少，減少-增加就是減少，減少+增加未知”等窮舉單調(diào)性和兩個函數(shù)加減法的結(jié)論。然而【毛毛學長】在【知你課堂】告訴大家，只需要記住一句話：增加和減法相同的多個函數(shù)的加法單調(diào)性不變（如果把減法和下面的函數(shù)看成一個整體，就變成了加法連接），這個在處理多個函數(shù)加減法的單調(diào)性時非常好判斷~

因此，進入高三之后，需要把高一、高二學過的相關(guān)內(nèi)容全部復習一遍，類似的知識包括向量的基變換法，級數(shù)的數(shù)學歸納法，方差、標準差的概念等等。

（2）沒有學習全部的知識

很多知識點受限于高一、高二學生的認知水平還未達到一定程度，在高一、高二沒有詳細講解。例如高一上學期數(shù)學教材73-75頁中二分法求函數(shù)零點的本質(zhì)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理（或零點存在定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a).f(b)＜0，則必有

，使得f(c)=0）。如果不講清楚這些延伸知識，那么像2015年黃浦區(qū)第一場模擬理科卷第21題（2）這種求證某區(qū)間上一定存在唯一零點的進階題肯定是解不出來的。（因為證明零點存在性問題的下一層是證明零點唯一存在，最難的是研究區(qū)間邊界值無意義的情況。【毛毛學長】會在【知你課堂】講兩種解法）

再比如序列篇章中序列的定義。在高一、高二的時候，學生通常只學習第一個定義：序列是按照一定的規(guī)律按順序排列的一系列數(shù)字。但如果學生只掌握了這個層次，在解題時就會很迷茫。為什么函數(shù)的單調(diào)性、周期性等問題也要在序列中研究？為什么函數(shù)中很多經(jīng)典的問題類型，如不等式永遠成立的問題，也要在序列中研究？為什么從二次函數(shù)圖像的角度來分析等差數(shù)列前n項和的最大值？因為在高三，一輪復習回來再看序列篇章的時候，就會講解第二個定義：序列本身是定義在N*或其有限子集上的函數(shù)。只有學習了這個定義，我們才能把函數(shù)篇和序列篇聯(lián)系起來，學會用函數(shù)解序列的問題，遇到諸如

*學習的時候，我們會從數(shù)列的角度去學習。

3. 跨章節(jié)知識整合較少

由于高一、高二知識學習順序的限制，在剛開始學習一些各個章節(jié)共有的方法時，是沒辦法告訴你的。而且高一、高二的考試一般會考相關(guān)章節(jié)。但是高三的時候，一張卷子有21道題，會考高三數(shù)學的所有章節(jié)。那么很多題目會有多個章節(jié)的綜合題。在剛開始學習一些知識和方法的時候，這些章節(jié)是沒有聯(lián)系的，使得學習內(nèi)容比較碎片化。高三需要一次性復習完，把這些問題講解的比較全面。

例如，在數(shù)列章節(jié)中學習算術(shù)數(shù)列的前 n 項求和時，我們會學習反向加法。這種方法可以在很多章節(jié)中應用，例如函數(shù)、三角學、排列。但由于學習章節(jié)的順序，在學習函數(shù)和三角學時我們不會提到這種方法。在學習排列時，由于數(shù)列之間的間隔很長，我們也不會過多解釋它。例如，在高一時我們可以做的兩道題，就用到了函數(shù)和三角學章節(jié)中的反向加法：

在函數(shù)中：

在三角形中：

求

的價值 。

在高三的時候，需要打破章節(jié)之間的壁壘，對一些貫穿多個章節(jié)的方法和知識進行全面的講解。

目標二：建立新系統(tǒng)

高一、高二學習的章節(jié)知識順序是課本的時間順序和邏輯順序，學生在學習時容易處于孤立狀態(tài)。高三需要重新建立一套全新的主要章節(jié)體系。但建立的體系需要具備兩個功能，如果體系不具備這兩個功能，就只是“擺設(shè)”，難以應用。下文將以毛毛在“懂你課堂”建立的功能章節(jié)體系來解讀這兩個功能。

在這個函數(shù)體系中，有兩條主線，第一是函數(shù)知識：函數(shù)性質(zhì)的零點放在定義域旁邊，因為它們都是研究自變量的情況，最大值放在值域旁邊，奇偶性、單調(diào)性、周期性與解析表達式關(guān)系最密切（其中奇偶性的導出對稱性、單調(diào)性的導出凹性、周期性的導出周期函數(shù)，這個體系里先不寫）；第二是函數(shù)形式：基本初等函數(shù)有一次和二次反比、三角對勾、冪運算（反三角函數(shù)看作三角函數(shù)的導數(shù)，帶狀函數(shù)看作對勾函數(shù)的導數(shù)）。復雜函數(shù)形式包括函數(shù)運算、分段函數(shù)、復合函數(shù)、像變換、抽象函數(shù)、新定義函數(shù)六大形式，基本初等函數(shù)可以通過這六種方法組合成復雜函數(shù)。

（一）功能一：系統(tǒng)學習本章

建立體系的第一個作用就是能夠系統(tǒng)地學習章節(jié)。當我們建立這個體系之后，學習每一個知識點會遵循以下四個層次的邏輯：

1.知識點本身的定義、判斷、證明、討論等考核點；

2、知識點+其他知識點的綜合考查；

3、知識點+基礎(chǔ)及復雜函數(shù)形式的綜合考查；

4、跨章節(jié)知識點綜合考查。

例如，在第一級中，學生將學習單調(diào)性的定義、判斷技巧、證明過程（差分法、商法）、討論基礎(chǔ)等。

第二層單調(diào)性+奇偶性考點：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反（利用形象記憶，否則就有兩組奇偶性+最大值的結(jié)論，容易混淆，減輕學生記憶負擔）；單調(diào)性+最大值、值域考點：利用單調(diào)性求解函數(shù)值域等；

第三層級，學習單調(diào)性+函數(shù)運算：同增同減的多個函數(shù)相加依然是單調(diào)的；單調(diào)性+分段函數(shù)：每段都是單調(diào)的，連接點遵循單調(diào)的趨勢；單調(diào)性+復合函數(shù)：同增不同減；單調(diào)性+圖像變換：平移變換后對應區(qū)間的函數(shù)單調(diào)性奇偶函數(shù)的加減乘除，前后不變；單調(diào)性+抽象函數(shù)：排序成

的標準形式，利用對f的單調(diào)性，變換來求解抽象函數(shù)，解決不等式問題等等；

第四層次的學習單調(diào)性涵蓋了序列篇中的一系列問題，由于定義域的特殊性，需要考慮的因素也變得多樣。

通過上面的例子，相信已經(jīng)可以跟大家解釋清楚了，一個優(yōu)秀的體系一旦建立起來，就可以引導我們重新學習章節(jié)，進而把很多考點分解成系統(tǒng)組合。其實，在我們高一上學期的數(shù)學教材里，關(guān)于函數(shù)這一章節(jié)，根據(jù)毛毛的觀察，有兩條主線，或顯性，或隱性。顯性線是函數(shù)的知識，隱性線是函數(shù)的形式。筆者就是通過書中61到64頁的隱性線：復雜函數(shù)和函數(shù)運算的形式，進而解開散落在書中各個主題、例子、練習中的其它形式：比如59頁例子4的稅收問題就是分段函數(shù)，83頁例子6也是分段函數(shù)。

圖像是圖像變換，60頁的郵件和郵資問題是新定義的函數(shù)[X]（四舍五入函數(shù)）。體系的建立絕對不是簡單的知識點羅列，加上一些粗略的總結(jié)，要能用盡可能少的邏輯涵蓋更多的內(nèi)容，并能按照一定的邏輯組合成測試點，幫助學生利用體系學習章節(jié)。

（二）功能二：以邏輯方式解決問題

建立體系的第二個功能，是利用體系有邏輯、有層次地解決問題。功能篇中解決問題的邏輯順序為：

1.看函數(shù)定義域；

2.閱讀函數(shù)知識；

3.看函數(shù)形式。

對于任何函數(shù)問題，我們都應該首先考慮領(lǐng)域，然后看題目中出現(xiàn)的函數(shù)知識（也就是體系中的關(guān)鍵術(shù)語），再看題目給出的函數(shù)形式。后兩者的結(jié)合往往指向一個很具體的考點，可以指導我們解決問題。比如一個很簡單的題目，即看函數(shù)的角度不同會有不同的組合，進而產(chǎn)生不同的解題方法：

已知 f(x) 的定義域為 [-1,1]，求 f(x+1) 的定義域。

這道題中出現(xiàn)的函數(shù)知識就是定義域。對函數(shù)形式的不同解釋會導致不同的處理方式：

所以我們知道一個優(yōu)秀的系統(tǒng)可以幫助我們在解決問題的時候從多個角度選擇更好的解決方案。

目標 3：理清問題類型和套路

高三的時候我們需要系統(tǒng)地梳理一下題型和套路，這樣可以在考試的時候節(jié)省我們不必要的思考時間，但是題型和套路需要講清楚問題的四個方面：

（一）第一層：問題類型識別

也就是什么條件組合、題型、題目結(jié)構(gòu)特點，就用什么類型的題型套路。這一點如果不講清楚，考試的時候會想不起來，考完后其他同學提醒你的時候才會突然想起來。也會有用得不慎丟分的尷尬情況。比如解析幾何中，有種很經(jīng)典的方法叫“不求而取”，其題型識別被毛毛在【讀懂你的課堂】總結(jié)成兩點：

1.一條直線與一條曲線相交于兩點；

2.給出或要求研究者研究兩點之間的關(guān)系（如角度關(guān)系、長度關(guān)系、角度+長度關(guān)系）；

學生只有掌握了這一點，在遇到此類問題時才能毫不猶豫地使用這種方法。

（二）第二層次：解決問題的套路

當所有同學學習一類題的解題套路時，都會學到很多步驟，但這些步驟一定要具體，要有操作性。任何常見的分類討論，都需要充分提煉。以兩字母不等式問題為例奇偶函數(shù)的加減乘除，所有同學都知道可以用函數(shù)性質(zhì)和參數(shù)分離這兩個套路，但只知道這一步是遠遠不夠的，還需要知道什么時候用前者，什么時候用后者，函數(shù)性質(zhì)該用什么（如果只知道一種有適用前提的方法比如用端點值代替線性函數(shù)，卻不知道什么時候不能用，在考試中遇到不等號不包含等號的情況，以及研究區(qū)間為開區(qū)間的情況，都極其容易犯錯，限于篇幅，本文不再贅述），以及參數(shù)分離的三種形式參數(shù)與變量組合產(chǎn)生的不同的參數(shù)分離要求。 我們在總結(jié)解題套路的時候，每一步都要具體、有操作性，不能用“觀察”“感覺”這種主觀色彩濃厚的詞語。

（三）第三級：預防措施

很多方法都有注意事項，如果注意事項不清楚，很容易丟1分、2分，檢查答案的時候以為自己犯了錯誤，其實是因為題型和套路有差距。

（四）第四級：衍生變形

一道題型需要從最簡單的情況講到最難的形式，有些題型和方法會跨越多個章節(jié)，限于本文篇幅有限，我就不多講了，以后有機會再繼續(xù)給大家分享。

相信只要大家做到了復習舊知識、建立新體系、梳理題型和套路這三個目標，就一定能在一輪復習中穩(wěn)步前進，打下堅實的基礎(chǔ)，以后學的會越來越順利。

這個暑假，毛毛老師還為各位同學準備了《暑期高考數(shù)學初試復習攻略直播課》，足不出戶就能快速提升成績！