最近因?yàn)楣ぷ餍枰玫綑E圓的極坐標(biāo)方程，所以推導(dǎo)了橢圓的相關(guān)公式。 記錄下來(lái)用作輔導(dǎo)孩子的信息。 本文所用語(yǔ)言為口語(yǔ)，僅用于說(shuō)明事實(shí)。 內(nèi)容分為三個(gè)部分：基礎(chǔ)知識(shí)、第一個(gè)定義的證明、第二個(gè)定義的證明。 如果讀者能夠理解上述內(nèi)容并完成公式的推導(dǎo)，則認(rèn)為他已經(jīng)完全掌握了橢圓。 不管考試是什么，都不要害怕。 同樣，對(duì)于其他圓錐曲線：雙曲線和拋物線，讀者也可以效仿本文作出自己的總結(jié)和證明。

基礎(chǔ)知識(shí)

橢圓的形狀是一個(gè)扁平的圓。 我記得當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)老師的課堂演示：把一根松繩的兩端固定在黑板上； 用粉筆拿起繩子，使其拉緊橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么，然后用粉筆在黑板上畫(huà)一個(gè)橢圓。 這是橢圓的第一個(gè)定義：

橢圓是一組點(diǎn)，其到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是常數(shù)。 也就是說(shuō)，它滿足：

如上圖所示，E(-c,0)和F(c,0)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)，距離常數(shù)之和為2a。 橢圓的長(zhǎng)半徑的長(zhǎng)度為a，短半徑的長(zhǎng)度為b。

橢圓方程：

圓的方程：

可見(jiàn)，圓是橢圓的特例。

自然：

這從上面的定義就可以看出。

定義：偏心率

反映焦點(diǎn)偏離中心的程度。 偏心率越大，橢圓越平坦。 圓的偏心率為e=0（圓相當(dāng)于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)合二為一成為圓心，2c=0，e=0）。

第一個(gè)定義的證明（橢圓方程的證明）

命題1：

證明：充分性：?

獲得認(rèn)證。

必要性：?

獲得認(rèn)證。

第二個(gè)定義證明

橢圓的第二個(gè)定義：（圓錐曲線的一般定義）

橢圓是一組點(diǎn)，從點(diǎn)（焦點(diǎn)）到直線 x=x0（準(zhǔn)線）的距離為常數(shù) e（偏心率）。 其中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為P。此時(shí)

如圖所示

這是橢圓的極坐標(biāo)方程。

在

注1：根據(jù)c、p、e和的定義

這3個(gè)變量中只有2個(gè)自變量。 選擇其中兩個(gè)變量的值后，剩下的變量的值已經(jīng)確定，無(wú)法選擇。

注2：橢圓有左右兩條準(zhǔn)線。 上面是右準(zhǔn)線的情況，如果是左準(zhǔn)線，則方程為

但兩者并無(wú)本質(zhì)區(qū)別。

下面證明橢圓的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程是等價(jià)的。 也就是說(shuō)，橢圓的第一個(gè)定義與第二個(gè)定義等效。

命題2：

證明：充分性：?

獲得認(rèn)證。

必要性：?

獲得認(rèn)證。

附加功能：

這部分是數(shù)學(xué)建模課的作業(yè)筆記，與微分相關(guān)，與橢圓無(wú)關(guān)。

開(kāi)普勒第二定律方程的解釋：微分還是導(dǎo)數(shù)？

開(kāi)普勒第二定律：行星繞恒星運(yùn)行的單位時(shí)間徑向掃過(guò)的面積是一個(gè)常數(shù)。現(xiàn)在

其中，θ為徑向角，r為徑向長(zhǎng)度，A為常數(shù)。 這里有一個(gè)問(wèn)題：為什么是導(dǎo)數(shù)而不是微分呢？ 看來(lái)采用差速器更為合理。 經(jīng)過(guò)思考，我得出的結(jié)論是，這個(gè)方程是正確的，但它的含義需要解釋一下。

注：L為弧長(zhǎng)

單位時(shí)間內(nèi)徑向掃過(guò)扇形面積

注：這里用Δθ代替dθ。 兩者之間有很大的區(qū)別。 Δθ 是一個(gè)數(shù)字，而 dθ 是一個(gè)無(wú)窮小量。 否則，方程左邊無(wú)窮小≠右邊常數(shù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么，方程不成立。讓單位時(shí)間內(nèi)的角速度保持恒定，則

然后

這里使用Δt=1，因?yàn)閱挝粫r(shí)間的含義是1個(gè)單位時(shí)間。

代入扇形面積公式我們得到

所以

獲得認(rèn)證。

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